Teoria de galois

El 31 de Mayo de 1832 fallecio a los 20 años de edad. Galois nació en Bourg la Reina, cerca de Paris EN 1811.

Primer ejemplo: ecuación cuadrática

Sea la ecuación cuadrática

${\displaystyle x^{2}-4x+1=0}$

Mediante el uso de la fórmula para la ecuación cuadrática sabemos que sus dos raíces son

${\displaystyle A=2+{\sqrt {3}}}$

${\displaystyle B=2-{\sqrt {3}}}$

Algunas de las ecuaciones algebraicas que satisfacen A y B son

${\displaystyle A+B=4}$

${\displaystyle AB=1}$

En cada una de estas ecuaciones es claro que si intercambiamos los papeles de A y B obtenemos ecuaciones válidas. Pero además esto es cierto, aunque menos obvio, para cualquier ecuación algebraica que satisfacen A y B. Para probarlo se requiere de la teoría de los polinomios simétricos.

Concluimos que el grupo de Galois del polinomio ${\displaystyle x^{2}-4x+1}$ consiste en dos permutaciones: la identidad que deja A y B quietas, y la transposición, que intercambia A y B. Como grupo, es isomorfo al grupo cíclico de orden dos, denotado Z/2Z.

Podríamos plantear la objeción de que existe esta otra ecuación satisfecha por A y B:

${\displaystyle A-B-2{\sqrt {3}}=0}$

pero que no es cierta cuando intercambiamos los papeles. Sin embargo hemos de observar que no nos importa pues sus coeficientes no son racionales; ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ es irracional.

De forma parecida podemos hablar de cualquier polinomio cuadrático ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$, donde a, b y c son números racionales.

• Si el polinomio tiene sólo una raíz, por ejemplo ${\displaystyle x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}}$, entonces el grupo de Galois es trivial; esto es, contiene sólo a la permutación identidad.
• Si tiene dos distintas raíces racionales, por ejemplo ${\displaystyle x^{2}-3x+2=(x-2)(x-1)}$, el grupo es de nuevo trivial.
• Si tiene dos raíces irracionales (inclusive el caso en el que ambas son números complejos), entonces el grupo de Galois contiene dos permutaciones, como en el ejemplo anterior.

Segundo ejemplo

Considérese el siguiente polinomio:

${\displaystyle x^{4}-10x^{2}+1}$,

que puede escribirse también como:

${\displaystyle (x^{2}-5)^{2}-24}$

Deseamos describir el grupo de Galois de este polinomio, nuevamente sobre el cuerpo de los números racionales. El polinomio tiene cuatro raíces:

${\displaystyle A={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$

${\displaystyle B={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}$

${\displaystyle C=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$

${\displaystyle D=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}.}$

Existen 4! = 24 maneras de permutar estas cuatro raíces, pero no todas estas permutaciones son miembros del grupo de Galois. Los miembros del grupo de Galois debe preservar cualquier ecuación algebraica con coeficientes racionales A, B, C y D. Una de dichas ecuaciones es por ejemplo:

${\displaystyle A+D=0}$.

Ya que puesto que

${\displaystyle A+C=2{\sqrt {3}}\neq 0}$,

la permutación

(A, B, C, D) → (A, B, D, C)

no está permitda, porque transforma la ecuación válida A + D = 0 en la ecuación inválida A + C = ${\displaystyle 2\surd 3}$.

Otra ecuación que las raíces satisfacen es:

${\displaystyle (A+B)^{2}=8}$.

Esto excluiría más permutaciones, como por ejemplo:

(A, B, C, D) → (A, C, B, D).

Continuando de esta manera, podemos encontrar que las únicas permutaciones que satisfacen las dos ecuaciones anteriores simultáneamente son:

(A, B, C, D) → (A, B, C, D)

(A, B, C, D) → (C, D, A, B)

(A, B, C, D) → (B, A, D, C)

(A, B, C, D) → (D, C, B, A),

y por tanto el grupo de Galois es isomorfo al grupo de Klein.